Корінь n-го степеня та його властивості
Означення
Коренем n-го степеня із числа α, де n ∈ N, n ≠ 1, називають таке число, n-й степінь якого дорівнює α.
Наприклад, 4³=64 і (-4)³=-64, де числа 4 і -4 є коренями третього степеня з 64.
При n=2 та n=3, корені n-го степеня називають відповідно квадратним та кубічним коренями.
Квадратний корінь (√a)²=2 існує тільки при a ≥ 0.
\[ Корінь \ n-го \ степеня \ \sqrt[2k]{a} \ існує \ тільки \ при \ a\geq0 \ (n=2k, \ k\in N), \ де \ n=2k \ – парне. \\ \sqrt[2k+1]{a} \ існує \ при \ будь-яких \ значеннях \ a \ (n=2k+1, \ k\in N) \ де \ n=2k+1 \ – непарне. \]
Арифметичним коренем n-го степеня з числа a називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Де число n називають показником кореня, а саме число a – підкореневим виразом. Знак
\[ \sqrt[n] \ \ та \ вираз \ \sqrt[n]{а} \]
називають радикалом.
Розглянемо кілька прикладів:
\[ Використаємо \ запис \ \sqrt[n]{a}=b, \ який \ означає, \ що \ b^n=a. \]
1)
\[ \sqrt{64}=8, \ оскільки \ 8^2=64 \]
2)
\[ \sqrt[4]{16}=2, \ оскільки \ 2^4=16 \]
3)
\[ \sqrt[5]{243}=3, \ оскільки \ 3^5=243 \]
4)
\[ \sqrt[4]{10000}=10 \]
5)
\[ \sqrt[5]{17^5}=17 \]
6)
\[ (\sqrt[3]{7})^3=7 \]
7)
\[ (\sqrt[6]{2})^6=2 \]
8)
\[ \sqrt[6]{(-2)^6}=2 \]
9)
\[ (-\sqrt[4]{3})^4=3 \]
Примітка:
10)
\[ \sqrt[3]{(-5)}^3=-5 \]
11)
\[ \sqrt[5]{(-7)^5}=-7 \]
12) Укажіть неправильну рівність.
\[ Відповідь \ Б) \ \sqrt[3]{\frac{1}{32}}=\frac{1}{2}, \ бо \ \sqrt[3]{32}\neq2 \]
13) Укажіть неправильну рівність.
\[ Відповідь \ А) \ \sqrt[3]{0,0008}=\neq2, \ бо \ \sqrt[3]{0,0008}=\sqrt[3]{0,008\times0,1}=0,2\sqrt[3]{0,1} \]
14)
\[ Відповідь \ Г), \ бо \ \sqrt[3]{b^4}=\sqrt[3]{b^3\times b^1}=b\sqrt[3]{b} \\ згідно \ формули \ a^{m \ + \ b}=a^{m \ \times \ b} \]
15)
\[ Відповідь \ В), d\sqrt[3]{d^5}, \ бо \ d\sqrt[3]{d^5}=\sqrt[3]{d^3\times d^2}=d\sqrt[3]{d^2} \]
16)
\[ \sqrt[4]{(-3)^4}\geq0 \\ Оскільки \ (-3)^4=3^4, \ бо \ 4 \ парне \ число,\ тоді \\ \sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{3^4}=3 \]
17) Знайдіть значення виразу:
\[ \sqrt[3]{27\times125} \]
\[ Скористаємося \ формулою \ \sqrt[n]{a} \ \times \ \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, \ при \ a\geq0, \ b\geq0.\\ \sqrt[3]{27\times125}=\sqrt[3]{27}\times\sqrt[3]{125}=3\times5=15 \]
18) Знайдіть значення виразу:
\[ \sqrt[5]{3^4+5^2+137} \]
Розв’язання:
\[ \sqrt[5]{3^4+5^2+137}=\sqrt[5]{81+25+137}=\sqrt[5]{243}=3, \\ бо \ 3^5=243 \ і \ 3\geq 0 \]
Відповідь: 3.
19) Обчисліть вираз:
\[ \frac{(\sqrt{22})^2+(\sqrt[3]{-2})^3}{2\sqrt[5]32} \]
Розв’язання:
\[ \frac{(\sqrt{22})^2+(\sqrt[3]{-2})^3}{2\sqrt[5]32}=\frac{22-2}{2\times2}=\frac{20}{4}=5 \]
Відповідь: 5.
20)
\[ \sqrt[5]{14^5}+(-2\times\sqrt{10})^2-\sqrt[7]{-128}=14+40-(-2)=54+2=56 \]
21) Знайдіть значення виразу:
\[ \sqrt[4]{2+\sqrt{3}}\times\sqrt[4]{2-\sqrt{3}}=\sqrt[4]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= \\ =\sqrt[4]{(2-\sqrt{3})}=\sqrt[4]{2^2-\sqrt{3}^2}=\sqrt[4]{4-3}=\sqrt[4]{1}=1 \]
22)
\[ \sqrt[6]{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\times\sqrt[6]{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\sqrt[6]{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}= \\ =\sqrt[6]{(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt[6]{\sqrt{6}^2-\sqrt{5}^2}=\sqrt[6]{6-5}=\sqrt[6]{1}=1 \]
23) Знайдіть значення виразу:
\[ \sqrt[4]{81}\times\left(\! \begin{array}{c} (\sqrt[3]{-2})^3+(\sqrt[5]{\frac{2}{3}})^5 \end{array} \!\right)=3\times\left(\! \begin{array}{c} -2+\frac{2}{3} \end{array} \!\right)=3\times\left(\! \begin{array}{c} -\frac{2}{1}+\frac{2}{3} \end{array} \!\right)= \\ =3\times\left(\! \begin{array}{c} -\frac{6}{3}+\frac{2}{3} \end{array} \!\right)=3\times\left(\! \begin{array}{c} -\frac{8}{3} \end{array} \!\right)=\frac{3}{1}\times\left(\! \begin{array}{c} -\frac{8}{3} \end{array} \!\right)=-\frac{8}{1}=-8 \]
24)
\[ \sqrt[3]{27}\times\left(\! \begin{array}{c} (\sqrt[4]{3})^4-(\sqrt[5]{-\frac{2}{3}})^5 \end{array} \!\right)=3\times\left(\! \begin{array}{c} 3-(-\frac{2}{3}) \end{array} \!\right)=3\times\left(\! \begin{array}{c} \frac{3}{1}+\frac{2}{3} \end{array} \!\right)= \\ =3\times\left(\! \begin{array}{c} \frac{3}{3}+\frac{2}{3} \end{array} \!\right)=3\times\frac{5}{3}=3\times1\frac{2}{3} =3\frac{2}{3} \]
25) Обчисліть:
\[ 5^{1 \ – \ 2\sqrt{3}}\times5^{2\sqrt{3}\ +\ 2} \]
Розв’язання:
\[ 5^{1 \ – \ 2\sqrt{3}}\times5^{2\sqrt{3}\ +\ 2}=5^{1 \ – \ 2\sqrt{3} \ +2\sqrt{3}\ + \ 2}=5^3=125,\\ використавши \ формулу \ a^m\times a^n=a^{m \ + \ n} \]
26) Обчисліть:
\[ 7^{2 \ – \ \sqrt{3}}\div7^{3 \ – \ \sqrt{3}} \]
Розв’язання:
\[ 7^{2 \ – \ \sqrt{3}}\div7^{3 \ – \ \sqrt{3}}=7^{2 \ – \ \sqrt{3} \ – \ (3 \ – \ \sqrt{3})}=7^{-1}=\frac{1}{7} \]
27)
\[ 2(-\sqrt[12]{12})^{12}-30\times\sqrt[3]{0,001}+(\frac{1}{2}\times\sqrt[5]{96})^5 \]
Згадуємо, що від’ємне число у парному степені стає додатнім. Тоді,
\[ 2\times\sqrt[12]{12}^{12}-30\times\sqrt[3]{0,001}+(\frac{1}{2}\times\sqrt[5]{96})^5 \\ 2\times\sqrt[12]{12}^{12}-30\times\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}+(\frac{1}{2})^5\times(\sqrt[5]{96})^{5} \\ 2\times\sqrt[12] {12}^{12}-30\times\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}+\frac{1}{32}\times 96 \\ 2\times 12-30\times{\frac{1}{10}}+\frac{96}{32} \\ 2\times 12-3+3 \\ Відповідь:\ 24 \]
28) Обчисліть:
\[ \bigg( \big(\sqrt{7}\big)^\sqrt{2}\bigg)^\sqrt{2} \]
Розв’язання:
\[ \bigg( \big(\sqrt{7}\big)^\sqrt{2}\bigg)^\sqrt{2}=\big(\sqrt{7}\big){^\sqrt{2}{^\times}^\sqrt{2}}=\big(\sqrt{7}\big)^2=7 \]
29) Обчисліть:
\[ \bigg( \big(\frac{1}{2}\big)^\sqrt{3}\bigg)^\sqrt{3} \]
Розв’язання:
\[ \bigg( \big(\frac{1}{2}\big)^\sqrt{3}\bigg)^\sqrt{3}=\big(\frac{1}{2}\big){^\sqrt{3}{^\times}^\sqrt{3}}=\big(\frac{1}{2}\big)^3=\frac{1}{8} \]
Використані джерела:
- Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія). 10 клас (рівень стандарту). Тестовий контроль результатів навчання / А. Р. Гальперіна. — Київ : Літера ЛТД, 2021. — 80 с.
- Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) : підруч. для 10 кл. закл. загал. серед. освіти / Є. П. Нелін. — Харків : Вид-во “Ранок”, 2018. — 272 с. : іл.
Дякую, що були з нами!
Ще більше пояснювального матеріалу з математики для підготовки до ЗНО/НМТ ви знайдете тут →
Щоб дізнаватися ще більше цікавого, підписуйтеся на наші канали:
Або переходьте за посиланням НА ГОЛОВНУ СТОРІНКУ
Email адреса для ваших пропозицій: ask.olhamaria@gmail.com
